Conjuntos Numéricos

1. Números Naturais (N)

São os números que usamos para contar. Eles são inteiros e não negativos.

• O que são: Números de contagem, incluindo o zero.

• Exemplos: $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,...\}$

• $Observações:$

• $1)\; Um\; subconjunto\; importante\; de\; N\; é\; o\; conjunto\; N*\; =\; \{1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; ...\}\; onde\; o\; zero\; é\; excluido.$

• $2)\; O\; menor\; número\; natural\; é\; o\; zero.$

• $3)\; Há\; infinitos\; números\; naturais$

• $4)\; A\; partir\; de\; qualquer\; número\; natural\; n,\; basta\; adicionar\; (somar)\; 1\; unidade\; para\; obter\; o\; número\; natural\; seguinte,\; ou\; seja,\; o\; sucessor\; de\; n\; é\; n+1.$

2. Números Inteiros (Z)

Este conjunto inclui todos os números naturais e também os seus opostos negativos. Ele foi criado para resolver subtrações como "3 - 5".

• O que são: Números naturais e seus negativos.

• Exemplos: $\mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

• Relação: Todo número Natural é um número Inteiro. ($\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$)

3. Números Racionais (Q)

Inclui qualquer número que pode ser escrito como uma fração (a/b), onde a e b são inteiros e b não é zero. Isso abrange os números inteiros, os decimais exatos e as dízimas periódicas.

• O que são: Frações, decimais finitos e dízimas periódicas.

• Exemplos: 1/2 (ou 0,5), −3/4, 5 (que é 5/1), 0,333... (que é 1/3).

• Relação: Todo número Inteiro é um número Racional. ($\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$)

4. Números Irracionais (I)

São o oposto dos Racionais. Eles não podem ser escritos como uma fração simples. Sua representação decimal é infinita e não se repete (não são dízimas periódicas).

• O que são: Decimais infinitos e não periódicos.

• Exemplos: O número Pi ($\pi \approx 3,\mathrm{14159...}$), a raiz quadrada de 2 (​≈1,41421...).

• Relação: Este conjunto é separado dos Racionais. Um número ou é Racional ou é Irracional, nunca os dois.

5. Números Reais (R)

É a união de todos os conjuntos anteriores. Basicamente, inclui todos os números Racionais e Irracionais juntos. É qualquer número que você possa imaginar em uma reta numérica.

• O que são: A junção dos Racionais com os Irracionais.

• Relação: $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \mathbb{I}$. Todos os outros conjuntos (N,Z,Q) estão contidos nos Reais.

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Resumo Visual da Hierarquia

• Reais ($\mathbb{R}$)

• Racionais ($\mathbb{Q}$)

  • Inteiros ($\mathbb{Z}$)

    • Naturais ($\mathbb{N}$)

• Irracionais ($\mathbb{I}$) (Estão dentro dos Reais, mas separados dos Racionais)

CURIOSIDADE: 

A letra Z para representar o conjunto dos números inteiros vem da palavra alemã "Zahlen", que significa simplesmente "números".

O Contexto

No final do século XIX e início do século XX, a matemática, especialmente nas áreas de teoria dos conjuntos e álgebra abstrata, estava sendo fortemente desenvolvida por matemáticos alemães. Grupos de matemáticos influentes, como o de David Hilbert na Universidade de Göttingen, estabeleceram muitas das notações que usamos até hoje.

Como eles estavam escrevendo em alemão, foi natural usar a primeira letra da palavra "Zahlen" para designar o conjunto fundamental de números que incluía os positivos, negativos e o zero.

Por que não "I" de "Inteiros"?

Você poderia se perguntar por que não usamos a letra "I", de "Inteiros" (ou Integers, em inglês). Havia duas boas razões para evitar o "I":

1. Ambiguidade: A letra "I" já era (e ainda é) frequentemente usada em matemática para outras coisas, como a unidade imaginária ($i=\; raiz\; quadrada\; de\sqrt{-1}$) no conjunto dos números complexos, ou para representar uma matriz identidade.

2. Padronização: A notação "Z" foi adotada pela comunidade matemática internacional para criar um padrão universal e evitar confusão entre diferentes idiomas.

Essa mesma lógica se aplica a outros conjuntos:

• N: De Naturais.

• Q: De Quociente, vindo do italiano "quoziente" ou do alemão "Quotient", já que números racionais são o resultado da divisão (quociente) de dois inteiros.

• R: De Reais.

Portanto, a letra Z é uma herança da grande contribuição dos matemáticos de língua alemã para a matemática moderna.

A Limitação dos Números Reais

Dentro do conjunto dos Números Reais (R), não existe solução para equações como:

$$x^2=-1$$

Nenhum número real multiplicado por si mesmo resulta em um número negativo. Para resolver esse e outros problemas, os matemáticos "inventaram" uma nova unidade.

1. Números Imaginários

A base dos números imaginários é a unidade imaginária, representada pela letra i.

• Definição: i é definido como a raiz quadrada de -1.

• Propriedade fundamental: $i²=-1$.

Um número imaginário puro é qualquer número real multiplicado por i.

• Exemplos: 3i, −5i, 2i​, πi.

2. Números Complexos (C)

Na maioria das vezes, os números não são apenas reais ou apenas imaginários puros, mas uma combinação dos dois. Essa combinação é o que forma o conjunto dos Números Complexos.

Um número complexo é escrito na forma:

$$z=a+bi$$

Onde:

• a é a parte real do número.

• b é a parte imaginária do número.

• i é a unidade imaginária.

Exemplos:

• $3+2i$ (parte real é 3, parte imaginária é 2)

• $5-4i$ (parte real é 5, parte imaginária é -4)

• 7i (pode ser escrito como $0+7i$; é um imaginário puro)

• 12 (pode ser escrito como $12+0i$; é um número real)

Relação com os Outros Conjuntos

Aqui está a parte mais importante: o conjunto dos Números Reais está contido no conjunto dos Números Complexos.

Se em um número complexo $a+bi$, a parte imaginária b for igual a zero, o que sobra é apenas a, que é um número real.

$$a+0i=a$$

Isso significa que todo número real é também um número complexo.

A Hierarquia Final dos Conjuntos Numéricos

Agora podemos completar a nossa "boneca russa":

• Complexos ($\mathbb{C}$) - O conjunto mais abrangente.

  • Reais ($\mathbb{R}$) - Todos os complexos com parte imaginária igual a zero.

    • Racionais ($\mathbb{Q}$)

      • Inteiros ($\mathbb{Z}$)

        • Naturais ($\mathbb{N}$)

    • Irracionais ($\mathbb{I}$)

  • Imaginários - Todos os complexos com parte real diferente de zero e parte imaginária diferente de zero (ex: $3+2i$) ou com parte real igual a zero (imaginários puros, ex: 7i).

Em vez de uma linha numérica, os números complexos são representados em um plano de duas dimensões (chamado de Plano de Argand-Gauss), onde o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária.